На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия

Решение задач

Решенные задачи из задачников для школьников, абитуриентов, студентов по всем учебным дисциплинамСтраницы: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636

Число записей в разделе: 15897

14.22. Из вершины тупого угла A треугольника ABC опущена высота AD. Проведена окружность с центром в точке D радиусом, равным AD. Она пересекает стороны треугольника AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите сторону AC, если известно, что AB=c, AM=m и AN=n.

14.23. В треугольнике ABC угол C-тупой, D-точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает AB в точке M. Известно, что AM=a, MB=b. Найдите AC.

14.24. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам AC и BC. Эти прямые пересекают высоту CH треугольника или её продолжение в точках P и Q. Известно, что CP=p, CQ=q. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

14.25. Через центр O окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC за точку C в точке Q. Найдите BP, если известно, что AB=c, BC=a и BQ=p.

14.26. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K. Найдите KC, если BC=4, а AK=6.

14.27. Продолжение медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A, пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D. Найдите BC, если AC=DC=1

14.28. Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне KM. Эту прямую пересекают в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонам KL и LM соответственно. Известно, что AL=a. Найдите BL.

14.29. В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что MP=p, MQ=q. Найдите MN.

14.30. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF=a, AD=b. Найдите EF.

14.31. В трапеции ABCD известно, что BC параллельна AD, угол ∠ABC=90°. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD-в точке N. Известно также, что MC=a, BN=b, а расстояние от точки D до прямой MC равно c. Найдите расстояние от точки A до прямой BN.

14.32. В треугольник ABC со сторонами AB=6, BC=5, AC=7 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH треугольника ABC в точке M. Найдите площадь треугольника DMC.

14.33. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке M. Найдите MB, если MA=a, MD=b.

14.34. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, DC и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Подготовительные задачи 15.1. Сторона треугольника равна √2, углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов. 15.2. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен α. 15.3. Точка M лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого. 15.4. Отрезок AB-диаметр окружности, а точка C лежит вне окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ABC относятся как 1:4. 15.5. В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной AB, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N. Найдите MN, если BC=a, AC=b, AB=c. 15.6. В треугольнике ABC известно, что AB=c, BC=a, ∠ABC=120°. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C. 15.7. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите AC, если BC=a, AB=b, DE/AC=k. 15.8. Высоты BM и CN остроугольного неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке H. Сторону BC продолжили до пересечения с прямой MN в точке K. Сколько пар подобных треугольников при этом получилось? Тренировочные задачи 15.9. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным 30°, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника AMB, если расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC соответственно равны √2 и √3/3 15.10. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O-центр вписанной окружности. Известно, что BC=24, MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC. 15.11. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите угол ACB. 15.12. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH=AB. Найдите угол ACB. 15.13. В треугольнике ABC известно, что AB=2, AC=5, BC=6. Найдите расстояние от вершины B до точки пересечения высот. 15.14. На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15°. Найдите углы треугольника ABC. 15.15. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CM и AN. Известно, что AC=2, а площадь круга, описанного около треугольника MBN, равна п/3. Найдите угол между высотой CM и стороной BC. 15.16. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ, равен 9/5. 15.17. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности. 15.18. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника. 15.19. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, если AC=a, PQ=6a/5. 15.20. В остроугольном треугольнике PQR (PQ > QR) проведены высоты PT и RS; QN-диаметр окружности, описанной около треугольника PQR. Известно, что острый угол между высотами PT и RS равен α, PR=a. Найдите площадь четырёхугольника NSQT. 15.21. В треугольнике ABC проведены высота AH, равная h, медиана AM, равная m, и биссектриса AN. Точка N-середина отрезка MH. Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC.

15.1. Сторона треугольника равна √2, углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

15.2. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен α.

15.3. Точка M лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого.

15.4. Отрезок AB-диаметр окружности, а точка C лежит вне окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ABC относятся как 1:4.

15.5. В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной AB, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N. Найдите MN, если BC=a, AC=b, AB=c.

15.6. В треугольнике ABC известно, что AB=c, BC=a, угол ∠ABC=120°. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C.

15.7. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите AC, если BC=a, AB=b, DE/AC=k.

15.8. Высоты BM и CN остроугольного неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке H. Сторону BC продолжили до пересечения с прямой MN в точке K. Сколько пар подобных треугольников при этом получилось?

15.9. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным 30°, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника AMB, если расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC соответственно равны √2 и √3/3

15.10. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O-центр вписанной окружности. Известно, что BC=24, MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

15.11. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите угол ACB.

online-tusa.com | SHOP