На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия

Задачи на тему Дополнительные задачи


\"Задача о бабочке\". Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что PC=QC.

\"Задача о трех пятаках\". Три равные окружности радиуса R пересекаются в точке M. Пусть A, B и C-три другие точки их попарного пересечения. Докажите, что: а) радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R; б) M-точка пересечения высот треугольника ABC.

\"Задача о четырех пятаках\". Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD-параллелограмм.

\"Замечательное свойство трапеции\". Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

\"Окружность Аполлония\". Найдите геометрическое место точек, расстояния от каждой из которых до двух данных точек относятся, как m:n.

1.1. На основании AC равнобедренного треугольника ABC взята точка D, а на отрезке BD-точка K так, что AD:DC=∠AKD : ∠DKC=2:1. Докажите, что ∠AKD=∠ABC.

1.2. Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K так, что AKB=90o, CKB=180o-ACB. В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?

1.3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, DC=m, DA=n. На стороне BA взяты точки A1 и K, а на стороне BC-точки C1 и M. Известно, что BA1=a, BC1=c, BK=BM и что отрезки A1M и C1K пересекаются на диагонали BD. Найдите BK и BM.

2.1. Пусть M и N-середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P-точка пересечения отрезков AM и BN. Докажите, что S(ABP)=S(MDNP)

2.2. В окружность радиуса 2√7 вписана трапеция ABCD, причем ее основание AD является диаметром, а угол BAD равен 60o. Хорда CE пересекает диаметр AD в точке P такой, что AP:PD=1:3. Найдите площадь треугольника BPE.

2.3 В данную окружность впишите прямоугольный треугольник, катеты которого проходят через две данные точки внутри окружности.

2.4 На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Докажите, что AP=BP + CP.

2.5 AA1 и BB1-высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что: а) треугольник AA1C подобен треугольнику BB1C; б) треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C.

2.6 Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что ∠BAH=∠OAC.

2.7 С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данный диаметр данной окружности (точка не лежит ни на окружности, ни на диаметре).

Задача о \"луночках Гиппократа\". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены полуокружности так, как показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей заштрихованных луночек равна площади треугольника.

Задача Архимеда В дугу AB окружности вписана ломаная AMB из двух отрезков AM>MB. Докажите, что основание перпендикуляра KH, опущенного из середины K дуги AB на отрезок AM, делит ломаную пополам, т. е. AH=HM + MB.

Задача Потено С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой данные отрезки видны под данными углами.

Задача Фаньяно Впишите в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра.

Задача Ферма Внутри остроугольного треугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.

Прямая Эйлера Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причем точка M расположена между точками O и H, и MH=2*MO.

Точка Жергона В треугольник вписана окружность. Точки касания соединены с противоположными вершинами треугольника. Докажите, что полученные отрезки пересекаются в одной точке.

Теорема Монжа Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

Теорема Менелая Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Докажите, что (BA1/A1C)*(CB1/B1A)*(AC1/C1B)=1.

Теорема Вариньона Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
online-tusa.com | SHOP