На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия
Решение задач  →  Задачи по геометрии с решениями
Теорема Вариньона
Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Для просмотра изображения в полном размере нажмите на него
Теорема Вариньона Докажите, что середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение задачи
(Пособие для абитуриентов и старших классов)
<< Предыдущее Следующее >>
Теорема Монжа Докажите, что прямые, проведенные через середины сторон вписанного четырехугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке. Теорема Менелая Дан треугольник ABC. Некоторая прямая пересекает его стороны AB, BC и продолжение стороны AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Докажите, что (BA1/A1C)*(CB1/B1A)*(AC1/C1B)=1. Подготовительные задачи 1.1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. 1.2. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите стороны треугольника. 1.3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. 1.4. В треугольнике ABC к стороне AC проведены высота BK и медиана MB, причём AM=BM. Найдите косинус угла KBM, если AB=1, BC=2. 1.5. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1:3. Найдите острые углы треугольника. 1.6. Точка D-середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка CD в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC. 1.7. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены биссектриса CL и медиана CM. Найдите площадь треугольника ABC, если LM=a, CM=b. 1.8. Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок CN, если катеты равны 1 и 4. 1.9. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна a и образует угол α с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника. Тренировочные задачи 1.10. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами m и n. Найдите стороны треугольника. 1.11. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) проведены высота CP и медиана CE. Площади треугольников ABC и CDE равны соответственно 10 и 3. Найдите AB. 1.12. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны 4 и 3 соответственно. Точка D делит гипотенузу BC пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ADC и ABD. 1.13. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30°. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла. 1.14. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P. Отрезок, соединяющий вершину C с серединой M отрезка AD, равен 5/4, AP=1. Расстояние от точки P до отрезка BC равно 1/2. Найдите AD, если известно, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. 1.15. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны 30° и 60°. Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции. 1.16. Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины этих оснований, равен 1. 1.17. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из них равна 6. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции. 1.18. Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, пересекает катет AC в точке D, а катет BC-в точке E, причём DE=2, а BE=1. На гипотенузе взята такая точка F, что BF=1. Известно также, что ∠FCB=α. Найдите площадь треугольника ABC. 1.19. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°. Найдите площадь треугольника ABC. 1.20. Гипотенуза KM прямоугольного треугольника KMP является хордой окружности радиуса √7. Вершина P находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно √3. Найдите острые углы треугольника KMP. 1.21. В треугольнике ABC известно, что AB=c, AC=b (b > c), AO-биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная AD и пересекающая AC в точке E. Найдите AE. 1.22. Точка E лежит на стороне AC правильного треугольника ABC; точка K-середина отрезка AE. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно прямой AB, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно прямой BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD. 1.23. В трапеции ABCD точка K-середина основания AB, M-середина основания CD. Найдите площадь трапеции, если известно, что DK-биссектриса угла D, BM-биссектриса угла B, наибольший из углов при нижнем основании равен 60°, а периметр равен 30. 1.24. В треугольнике ABC известны углы: ∠ A=45°, ∠ B=15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём CM=2AC. Найдите AMB. 1.25. В треугольнике ABC известно, что AB=AC и угол BAC тупой. Пусть BD-биссектриса треугольника ABC, M-основание перпендикуляра, опущенного из A на сторону BC, E-основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону BC. Через точку D проведён также перпендикуляр к BD до пересечения со стороной BC в точке F. Известно, что ME=FC=a. Найдите площадь треугольника ABC. 1.26. Острый угол при вершине A ромба ABCD равен 40°. Через вершину A и середину M стороны CD проведена прямая, на которую опущен перпендикуляр BH из вершины B. Найдите угол AHD. 1.1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности.
online-tusa.com | SHOP