Диагностическая работа 1

1. Около треугольника со сторонами 6, 8 и 10 описана окружность S. Найдите радиус окружности, касающейся меньшей стороны треугольника в её середине и окружности S.

2. Дан треугольник со сторонами AB=BC=17, AC=30. Найдите общую хорду окружностей с диаметрами AB и AC.

3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠CBD=58°, ∠ABD=44°, ∠ADC=78°. Найдите угол CAD.

4. Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает сторону DC в единственной точке F, а сторону BC-в единственной точке E. Найдите площадь трапеции AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1.

5. В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Известно, что ∠BAC=120° и AA1=6. Найдите высоту AP треугольника AB1C1.

6. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен 14, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника.

Диагностическая работа 2

1. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.

2. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом. Кроме того, обе эти окружности касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

3. Точки D и E расположены на стороне AC треугольника ABC. Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC на три равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1.

4. Сторона AB правильного шестиугольника ABCDEF равна √3 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Длина касательной CM, проведённой к той же окружности из вершины C (соседней с вершиной B), равна 3. Найдите диаметр окружности.

5. Центр окружности радиуса 6, касающейся сторон AB, BC и CD равнобедренной трапеции ABCD, лежит на её большем основании AD. Основание BC равно 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается боковых сторон AB и CD этой трапеции.

6. Углы при вершинах A и B треугольника ABC равны 75° и 45° соответственно, AA1 и BB1-высоты треугольника. Касательная в точке C к окружности, описанной около треугольника A1B1C, пересекается с прямой AA1 в точке K. Известно, что CK=a. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Диагностическая работа 3

1. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты.

2. Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен α, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R.

3. В треугольник ABC со сторонами AB=18 и BC=12 вписан параллелограмм BKLM, причём точки K, L и M лежат на сторонах AB, AC и BC соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет 4/9 площади треугольника ABC. Найдите стороны параллелограмма.

4. Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность. Расстояния от концов A и B гипотенузы AB до прямой, касающейся окружности в точке C, равны a и b соответственно. Найдите катеты AC и BC.

5. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C сторона CA=4. На катете BC взята точка D, причём CD=1. Окружность радиуса √5/2 проходит через точки C и D и касается в точке C окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите площадь треугольника ABC.

6. На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов.

Диагностическая работа 4

1. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, площадь которого равна 75, расположены точки M, N и K соответственно. Известно, что M-середина AB, площадь треугольника BMN равна 15, а площадь треугольника AMK равна 25. Найдите площадь треугольника CNK.

2. Окружность S с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности S, если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

4. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.

5. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB и AC в точках M и N. Окружность с центром Q вписана в треугольник AMN. Найдите OQ, если AB=13, BC=15 и AC=14.

6. Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до пересечения с описанной около треугольника окружностью. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30°, 60° и 90°, а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника.

Диагностическая работа 5

1. На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD:BD=1:3. Высота, опущенная из вершины C прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите катет BC.

2. Диагональ равнобедренной трапеции делит её тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции.

3. Окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке K. Прямая касается этих окружностей в различных точках A и B. Найдите площадь треугольника AKB.

4. Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

5. Точка M делит среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне BC, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка N делит сторону BC на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника ABC ?

6. Площадь ромба ABCD равна 2. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K проведена прямая KL, параллельная диагонали AC ромба (точка L лежит на стороне BC). Известно, что площадь треугольника KLB равна Найдите косинус угла BAD.

Диагностическая работа 6

1. Найдите радиус окружности, касающейся двух концентрических (имеющих один и тот же центр) окружностей радиусов 3 и 5.

2. Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции, касается большей боковой стороны, равной a. Найдите среднюю линию трапеции.

3. Точка D делит основание BC равнобедренного треугольника ABC на два отрезка, один из которых на 4 больше другого. Найдите расстояние между точками, в которых вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются отрезка AD.

4. Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника пересекаются в точке Q под прямым углом. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Известно, что BC=5, AD=10, BQ=3. Найдите AP.

5. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, касается его вписанной окружности. Отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 2,4. Найдите сторону AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 20.

6. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через точки A и B и пересекает прямую BC в точке M, отличной от B и C. Найдите расстояние от точки O до центра окружности, описанной около треугольника ACM.