Подготовительные задачи

15.1. Сторона треугольника равна √2, углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°. Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.

15.2. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB и AC в точках M и N. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна S, а угол BAC равен α.

15.3. Точка M лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках C и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник AMB, в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник CMD. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого.

15.4. Отрезок AB-диаметр окружности, а точка C лежит вне окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ABC относятся как 1:4.

15.5. В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной AB, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N. Найдите MN, если BC=a, AC=b, AB=c.

15.6. В треугольнике ABC известно, что AB=c, BC=a, ∠ABC=120°. Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C.

15.7. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите AC, если BC=a, AB=b, DE/AC=k.

15.8. Высоты BM и CN остроугольного неравнобедренного треугольника ABC пересекаются в точке H. Сторону BC продолжили до пересечения с прямой MN в точке K. Сколько пар подобных треугольников при этом получилось?

Тренировочные задачи

15.9. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным 30°, высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника AMB, если расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до сторон BC и AC соответственно равны √2 и √3/3

15.10. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O-центр вписанной окружности. Известно, что BC=24, MN=12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC.

15.11. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. Найдите угол ACB.

15.12. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH=AB. Найдите угол ACB.

15.13. В треугольнике ABC известно, что AB=2, AC=5, BC=6. Найдите расстояние от вершины B до точки пересечения высот.

15.14. На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC и BC в точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника ABC пополам и образует с прямой AB угол 15°. Найдите углы треугольника ABC.

15.15. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CM и AN. Известно, что AC=2, а площадь круга, описанного около треугольника MBN, равна п/3. Найдите угол между высотой CM и стороной BC.

15.16. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны BC и AB опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника BPQ равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника BPQ, равен 9/5.

15.17. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

15.18. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.

15.19. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках P и Q. Найдите радиус описанной окружности, если AC=a, PQ=6a/5.

15.20. В остроугольном треугольнике PQR (PQ > QR) проведены высоты PT и RS; QN-диаметр окружности, описанной около треугольника PQR. Известно, что острый угол между высотами PT и RS равен α, PR=a. Найдите площадь четырёхугольника NSQT.

15.21. В треугольнике ABC проведены высота AH, равная h, медиана AM, равная m, и биссектриса AN. Точка N-середина отрезка MH. Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC.