На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия
Решение задач  →  Задачи по геометрии с решениями
В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, проходящая через точки касания сторон BC и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON соответственно в точках P и Q. Найдите PQ, если MN=2.

Для просмотра изображения в полном размере нажмите на него
В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны

Решение задачи 13.38
(ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)
<< Предыдущее Следующее >>
13.36. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD=2, ∠ABD=∠ACD=90° и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно √2. Найдите BC. 13.37. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает прямую AC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает прямую AB в точке N. Известно, что MN=BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC. Найдите углы треугольника ABC. Подготовительные задачи 14.1. Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные основанию. Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами, если основание равно 20. 14.2. Точка M расположена на боковой стороне AB трапеции ABCD, причём AM:BM=2:1. Прямая, проходящая через точку M параллельно основаниям AD и BC, пересекает боковую сторону CD в точке N. Найдите MN, если AD=18, BC=6. 14.3. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки M и N соответственно, причем AM/MB=DN/NC=3/2. Найдите MN, если BC=a и AD=b. 14.4. На диагоналях AC и BD трапеции ABCD взяты соответственно точки M и N, причём AM:MC=DN:NB=1:4. Найдите MN, если основания AD=a, BC=b (a > b). 14.5. В прямоугольный треугольник е катетами 6 и 8 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата. 14.6. В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет BC равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе AC, касается обоих катетов. Найдите радиус окружности. 14.7. Точка M лежит на боковой стороне AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC, причём BM=BC. Найдите MC, если BC=1 и AB=2. 14.8. Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC, причём ∠ABD=∠BCA. Найдите отрезки AD и DC, если AB=2 и AC=4. 14.9. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD равны 12 и 18 и пересекаются в точке O. Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников AOB, BOC, COD и AOD. Тренировочные задачи 14.10. В круге проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M; K-точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой BD. Найдите отрезки BK и KD, если BD=3, а площади треугольников CMB и AMD относятся как 1:4. 14.11. В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны проведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP. 14.12. В трапеции ABCD даны основания AD=12 и BC=8. На продолжении стороны BC отложен отрезок CM=2,4. В каком отношении прямая AM делит площадь трапеции ABCD? 14.13. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции, если основания трапеции равны a и b. 14.14. В угол вписаны касающиеся внешним образом окружности радиусов r и R (r < R). Первая из них касается сторон угла в точках A и B. Найдите AB. 14.15. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2:3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции. 14.16. Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна 4, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен 1. Найдите диаметр окружности. 14.17. В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Хорда, соединяющая точки касания, равна 8. К окружности проведены две касательные, параллельные хорде. Найдите стороны полученной трапеции. 14.18. Расстояние от центра O окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC равно 1. Найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины A. 14.19. Через точку C проведены две прямые, касающиеся заданной окружности в точках A и B. На большей из дуг AB взята точка D, для которой CD=2 и sin(∠ACD)*sin(∠BCD)=1/3. Найдите расстояние от точки D до хорды AB. 14.20. В трапеции ABCD основание AB=a, основание CD=b (a < b). Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны AD. Найдите диагональ AC. 14.21. Точка пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. Найдите медиану, проведённую из вершины A, если BC=a. 14.22. Из вершины тупого угла A треугольника ABC опущена высота AD. Проведена окружность с центром в точке D радиусом, равным AD. Она пересекает стороны треугольника AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите сторону AC, если известно, что AB=c, AM=m и AN=n. 14.23. В треугольнике ABC угол C-тупой, D-точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает AB в точке M. Известно, что AM=a, MB=b. Найдите AC. 14.24. Через центр окружности, описанной около треугольника ABC, проведены прямые, перпендикулярные сторонам AC и BC Эти прямые пересекают высоту CH треугольника или её продолжение в точках P и Q. Известно, что CP=p, CQ=q. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 14.25. Через центр O окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC за точку C в точке Q. Найдите BP, если известно, что AB=c, BC=a и BQ=p. 14.26. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ AC является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке K. Найдите KC, если BC=4, а AK=6. 14.27. Продолжение медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A, пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D. Найдите BC, если AC=DC=1. 14.28. Радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне KM. Эту прямую пересекают в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонам KL и LM соответственно. Известно, что AL=a. Найдите BL. 14.29. В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что MP=p, MQ=q. Найдите MN. 14.30. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали AC и BD пересекаются в точке E. Вокруг треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и F лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF=a, AD=b. Найдите EF. 14.31. В трапеции ABCD известно, что BC||AD, ∠ABC=90°. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает сторону AB в точке M, а сторону CD-в точке N. Известно также, что MC=a, BN=b, а расстояние от точки D до прямой MC равно c. Найдите расстояние от точки A до прямой BN. 14.32. В треугольник ABC со сторонами AB=6, BC=5, AC=7 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне AB и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH треугольника ABC в точке M. Найдите площадь треугольника DMC. 14.33. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке M. Найдите MB, если MA=a, MD=b. 14.34. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, DC и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до прямой BE. 14.1. Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные основанию. Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами, если основание равно 20.
online-tusa.com | SHOP