На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия
Решение задач  →  Задачи по геометрии с решениями
Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC (AD > BC) описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M. Отрезок AM пересекает окружность в точке N. Найдите отношение AD к BC, если AN:NM=k.

Для просмотра изображения в полном размере нажмите на него
Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC AD > BC описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M. Отрезок AM пересекает

Решение задачи 12.33
(ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)
<< Предыдущее Следующее >>
12.31. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части. Найдите отношение BC:CA:AB. 12.32. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D соответственно; N-точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите: 1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD; 2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N. 12.34. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 45°, угол D равен 60°. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке E. Найдите отношение AE:ED. Подготовительные задачи 13.1. Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках B и C. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками B и C, если ∠BAC=70°. 13.2. Пусть AB и AC-равные хорды, MAN-касательная, градусная мера дуги BC, не содержащей точки A, равна 200°. Найдите углы MAB и NAC. 13.3. Треугольник ABC равнобедренный. Радиус OA описанного круга образует с основанием AC угол OAC, равный 20°. Найдите угол BAC. 13.4. Окружность описана около равностороннего треугольника ABC. На дуге BC, не содержащей точку A, расположена точка M, делящая градусную меру этой дуги в отношении 1:2. Найдите углы треугольника AMB. 13.5. Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности. Известно, что градусные меры меньших дуг AB, BC, CD и AD относятся как 1:3:5:6. Найдите углы четырёхугольника ABCD. 13.6. Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC, пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F. Угол AEC в 5 раз больше угла BAF, а угол ABC равен 72°. Найдите радиус окружности, если AC=6. 13.7. Из точки P, расположенной внутри острого угла с вершиной A, опущены перпендикуляры PB и PC на стороны угла. Известно, что ∠CBP=25°. Найдите угол CAP. 13.8. В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона AB которого равна a. Из конца K диаметра KP, параллельного стороне AB, сторона BC видна под углом β. Найдите радиус окружности. 13.9. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠BCD=80°, ∠ACB=50° и ∠ABD=30°. Найдите угол ADB. 13.10. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ACB=25°, ∠ACD=40° и ∠BAD=115°. Найдите угол ADB. 13.11. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABC=116°, ∠ADC=64°, ∠CAB=35° и ∠CAD=52°. Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону AB. 13.12. В четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD=∠ACD=45°, ∠BAC=30°, BC=1. Найдите AD. 13.13. Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы: ∠DAB=α, ∠ABC=β, ∠BKC=γ, где K-точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD. Тренировочные задачи 13.14. Около треугольника ABC, в котором BC=a, ∠B=α, ∠C=β, описана окружность. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке K. Найдите AK. 13.15. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; стороны AD и BC пересекаются в точке M. Углы B и D равны по 40°. Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB, ∠AMC=70°. Найдите углы треугольников ABC и ADC. 13.16. Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч OM образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10°; A и B-проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM. 13.17. Вершина угла величиной 70° служит началом луча, образующего с его сторонами углы 30° и 40°. Из некоторой точки M на этот луч и на стороны угла опущены перпендикуляры, основания которых-A, B и C. Найдите углы треугольника ABC. 13.18. В остроугольном треугольнике ABC из основания D высоты BD опущены перпендикуляры DM и DN на стороны AB и BC. Известно, что MN=a, BD=b. Найдите угол ABC. 13.19. Хорда делит окружность в отношении 11:16. Найдите угол между касательными, проведёнными через концы этой хорды. 13.20. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности, и найдите её радиус. 13.21. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OE=1, а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E, D и O. Найдите стороны и углы треугольника EDO. 13.22. В треугольнике ABC угол B прямой, величина угла A равна α ≠ 45°, точка D-середина гипотенузы. Точка C1 симметрична точке C относительно прямой BD. Найдите угол AC1B. 13.23. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной C, если AB=c и ∠C=120°. 13.24. В четырёхугольнике ABCD углы B и D прямые. Диагональ AC образует со стороной AB острый угол в 40°, а со стороной AD-угол в 30°. Найдите острый угол между диагоналями AC и BD. 13.25. В прямоугольном треугольнике ABC угол при вершине A равен 60°, O-середина гипотенузы AB, P-центр вписанной окружности. Найдите угол POC. 13.26. В параллелограмме ABCD острый угол равен α. Окружность радиуса r проходит через вершины A, B, C и пересекает прямые AD и CD в точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN. 13.27. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках M и N соответственно. Точка M удалена от вершин B, C и D на расстояния 4, 3 и 2 соответственно. Найдите MN. 13.28. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая, проходящая через точку E и перпендикулярная к BC, пересекает сторону AD в точке M. Докажите, что EM-медиана треугольника AED, и найдите её длину, если AB=7, CE=3, ∠ADB=α. 13.29. Дан треугольник ABC. Из вершины A проведена медиана AM, а из вершины B-медиана BP. Известно, что угол APB равен углу BMA. Косинус угла ACB равен 0,8 и BP=1. Найдите площадь треугольника ABC. 13.30. В треугольнике ABC угол ABC равен α, угол BCA равен 2α. Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке M. Найдите отношение AM к AB. 13.31. Точка E лежит на продолжении стороны AC правильного треугольника ABC за точку C. Точка K-середина отрезка CE. Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно AB, и прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD. 13.32. Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что угол CMA равен 30° и угол BMA равен α. Найдите угол ABM. 13.33. В трапеции MNPQ (MQ || NP) угол NQM в два раза меньше угла MPN. Известно, что NP=MP=13/2, MQ=12. Найдите площадь трапеции. 13.34. Дан угол, равный α. На его биссектрисе взята точка K; P и M-проекции K на стороны угла. На отрезке PM взята точка A, причём KA=a. Прямая, проходящая через A перпендикулярно KA, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите площадь треугольника BKC. 13.35. На биссектрисе угла с вершиной L взята точка A. Точки K и M-основания перпендикуляров, опущенных из точки A на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (KP < PM), и через неё перпендикулярно к отрезку AP проведена прямая, пересекающая прямую KL в точке Q (K между Q и L), а прямую ML-в точке S. Известно, что ∠KLM=α, KM=a, QS=b. Найдите QK. 13.36. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD=2, ∠ABD=∠ACD=90° и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно √2. Найдите BC. 13.37. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает прямую AC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает прямую AB в точке N. Известно, что MN=BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC. Найдите углы треугольника ABC. 13.38. В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, проходящая через точки касания сторон BC и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON соответственно в точках P и Q. Найдите PQ, если MN=2.
online-tusa.com | SHOP