На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия
Решение задач  →  Задачи по геометрии с решениями
Точка M внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные a и b. Через точку M проведена хорда AB, делящаяся точкой M пополам. Найдите AB.

Для просмотра изображения в полном размере нажмите на него
Точка M внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные a и b. Через точку M проведена хорда AB, делящаяся точкой M пополам

Решение задачи 12.1
(ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)
<< Предыдущее Следующее >>
11.40. Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности? Подготовительные задачи 12.1. Точка M внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные a и b. Через точку M проведена хорда AB, делящаяся точкой M пополам. Найдите AB. 12.2. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AB=a, BK=b, AK=c,CD=d. Найдите AC. 12.3. Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии √7 от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности. 12.4. Через точку M проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причём BC=7 и BM=9. Найдите AM. 12.5. Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность: один-в точках B и C, другой-в точках D и E. Известно, что AB=7, BC=7, AD=10. Найдите DE. 12.6. Точка M удалена от центра окружности радиуса R на расстояние d. Прямая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках A и B. Найдите произведение AM*BM. 12.7. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найдите хорду, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой AE. 12.8. В прямоугольном треугольнике ABC угол A прямой, катет AB равен a, радиус вписанной окружности равен r. Вписанная окружность касается катета AC в точке D. Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD. 12.9. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b. Найдите основание треугольника. 12.10. В окружности с центром O проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M, причём AM=4, MB=1, CM=2. Найдите угол OMC. Тренировочные задачи 12.11. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём AB является диаметром окружности. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Известно, что BC=3, CM=3/4, а площадь треугольника ABC втрое больше площади треугольника ACD. Найдите AM. 12.12. Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E. Найдите AE, зная, что AK=KB=a, ∠ BCK=α, ∠ CBE=β. 12.13. Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает в точке D продолжение стороны AB за точку A, причём AD=2/3 AB. Найдите площадь треугольника ABC, если AC=1. 12.14. Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC разделена на три равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE. Найдите отношение площадей треугольников ABC и BDE, если AB=BC=3 и AC=4. 12.15. Окружность, диаметр которой равен √10, проходит через соседние вершины A и B прямоугольника ABCD. Длина касательной, проведённой из точки C к окружности, равна 3, AB=1. Найдите сторону BC. 12.16. Окружность проходит через соседние вершины M и N прямоугольника MNPQ. Длина касательной, проведённой из точки Q к окружности, равна 1, PQ=2. Найдите площадь прямоугольника MNPQ, если диаметр окружности равен √5. 12.17. Точки A, B, C, D-последовательные вершины прямоугольника. Окружность проходит через A и B и касается стороны CD. Через D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны AB в точке K. Найдите площадь трапеции BCDK, если известно, что AB=10 и KE:KA=3:2. 12.18. Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного α, хорды, равные a, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно b. 12.19. Сторона квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная CK, проведённая из вершины C к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности. 12.20. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=3 и BC=4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности. 12.21. В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а медиана, проведённая к этой стороне, равна 3. Найдите длину общей хорды двух окружностей, каждая из которых проходит через точку A и касается BC, причём одна касается BC в точке B, а вторая-в точке C. 12.22. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма ABCD, касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках B и E. Найдите длину отрезка AE, если AD=4 и CE=5. 12.23. Из точки A, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие AKC и ALB, угол между которыми равен 30° (K, C, L, B-точки пересечения секущих с окружностью). Найдите площадь треугольника AKL, если площадь треугольника ABC равна 10. 12.24. На прямой расположены точки A, B, C и D, следующие друг за другом в указанном порядке. Известно, что BC=3, AB=2CD. Через точки A и C проведена некоторая окружность, а через точки B и D-другая. Их общая хорда пересекает отрезок BC в точке K. Найдите BK. 12.25. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найдите BC, если известно, что AC=1, а вершина A лежит на окружности, проходящей через точки D, E и F. 12.26. Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и проходит через вершину C. Сторону DC она пересекает в точке N. Найдите площадь трапеции ABND, если AB=9 и AD=8. 12.27. На одной из сторон угла, равного α(α < 90°), с вершиной в точке O взяты точки A и B, причём OA=a, OB=b. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся другой стороны угла. 12.28. На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность. Она пересекает гипотенузу AB в точке E. На стороне BC взята точка G так, что отрезок AG пересекает окружность в точке F, причём отрезки EF и AC параллельны, BG=2CG и AC=2√3. Найдите GF. 12.29. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150°, а сторона AD равна 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой CD и проходящей через вершину A, а также пересекающей сторону AD на расстоянии 2 от точки D. 12.30. Окружность и прямая касаются в точке M. Из точек A и B этой окружности опущены перпендикуляры на прямую, равные a и b соответственно. Найдите расстояние от точки M до прямой AB. 12.31. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану BM на три равные части. Найдите отношение BC:CA:AB. 12.32. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и B и касаются прямой в точках C и D соответственно; N-точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите: 1) радиус окружности, описанной около треугольника ACD; 2) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины N. 12.33. Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC (AD > BC) описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M. Отрезок AM пересекает окружность в точке N. Найдите отношение AD к BC, если AN:NM=k. 12.34. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен 45°, угол D равен 60°. На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке E. Найдите отношение AE:ED. 12.2. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AB=a, BK=b, AK=c,CD=d. Найдите AC. 12.3. Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии √7 от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности.
online-tusa.com | SHOP