На главную страницу
Поиск задач
Найти задачу можно, введя ее условие. Если с первого раза не нашли решение на нужное готовое задание, попробуте поиск по другим похожим ключевым фразам из ее условия
Решение задач  →  Задачи по геометрии с решениями
Две окружности пересекаются в точках A и K. Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных окружностях. Прямая, содержащая отрезок AB, касается одной окружности в точке A. Прямая, содержащая отрезок AC, касается другой окружности также в точке A. Длина отрезка BK равна 1, длина отрезка CK равна 4, а тангенс угла CAB равен 1/√15. Найдите площадь треугольника ABC.

Для просмотра изображения в полном размере нажмите на него
Две окружности пересекаются в точках A и K. Их центры расположены по разные стороны от прямой, содержащей отрезок AK. Точки B и C лежат на разных

Решение задачи 10.13
(ЕГЭ 2012. Математика. Решение задачи С4)
<< Предыдущее Следующее >>
10.11. Через общую точку C двух равных окружностей проведены две прямые, пересекающие данные окружности в точках A, B и M, N соответственно. Прямая AB параллельна линии центров, а прямая MN образует угол α с линией центров. Известно, что AB=a. Найдите NM. 10.12. В параллелограмме ABCD известны стороны AB=a, BC=b и угол ∠ BAD=α. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB. Подготовительные задачи 11.1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности. 11.2. Под каким углом видна из точек окружности хорда, равная радиусу? 11.3. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена высота CD. Угол BAC равен α. Радиус окружности, проходящей через точки A, C и D, равен R. Найдите площадь треугольника ABC. 11.4. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Найдите радиус вписанной окружности. 11.5. Дан треугольник со сторонами 3, 4, 5. Найдите радиусы его описанной, вписанной и вневписанных окружностей. 11.6. Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 10. 11.7. Найдите радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 13, 14, 15. 11.8. В равнобедренный треугольник с основанием, равным a, вписана окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три маленьких треугольника, сумма периметров которых равна b. Найдите боковую сторону данного треугольника. 11.9. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна a, средняя линия трапеции равна b, а острый угол при основании равен 45°. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции. 11.10. Основания равнобедренной трапеции равны 21 и 9, а высота равна 8. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции. Тренировочные задачи 11.11. Трапеция ABCD с основаниями BC=2 и AD=10 такова, что в неё можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. Определите, где находится центр описанной окружности, т. е. расположен он внутри или вне её, или же на одной из сторон трапеции ABCD. Найдите также отношение радиусов описанной и вписанной окружностей. 11.12. В прямоугольном треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности равно 2/5. Найдите острые углы треугольника. 11.13. В прямоугольный треугольник ABC с углом A, равным 30°, вписана окружность радиуса R. Вторая окружность, лежащая вне треугольника, касается стороны BC и продолжений двух других сторон. Найдите расстояние между центрами этих окружностей. 11.14. В треугольнике PQR угол QRP равен 60°. Найдите расстояние между точками касания со стороной QR окружности радиуса 2, вписанной в треугольник, и окружности радиуса 3, касающейся продолжений сторон PQ и PR. 11.15. Равносторонний треугольник со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна √3. Найдите хорды BD и CD. 11.16. Пусть O-центр окружности, описанной около треугольника ABC, ∠ AOC=60°. Найдите угол AMC, где M-центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 11.17. В треугольнике ABC известно, что AC=b, ∠ ABC=α. Найдите радиус окружности, проходящей через центр вписанного в треугольник ABC круга и вершины A и C. 11.18. В окружности проведены две хорды AB=a и AC=b. Длина дуги AC, не содержащей точки B, вдвое больше длины дуги AB, не содержащей точки C. Найдите радиус окружности. 11.19. Из точки M на окружности проведены три хорды: MN=1, MP=6, MQ=2. При этом углы NMP и PMQ равны. Найдите радиус окружности. 11.20. Через вершины A и B треугольника ABC проходит окружность радиуса r, пересекающая сторону BC в точке D. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и C, если AB=c и AC=b. 11.21. Центр описанной окружности треугольника симметричен его центру вписанной окружности относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника. 11.22. Угол при основании равнобедренного треугольника равен φ. Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности. 11.23. В треугольнике ABC с периметром 2p сторона AC равна a, острый угол ABC равен α. Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается стороны BC в точке K. Найдите площадь треугольника BOK. 11.24. В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен α. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD=a. Найдите площадь треугольника DOK. 11.25. В треугольник вписана окружность радиуса 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 и 8. Найдите две другие стороны треугольника. 11.26. Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, проведённой к гипотенузе, на два треугольника: BCD и ACD. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. 11.27. К окружности, вписанной в треугольник со сторонами 6, 10 и 12, проведена касательная, пересекающая две большие стороны. Найдите периметр отсечённого треугольника. 11.28. Окружность, вписанная в треугольник, точкой касания делит одну из сторон на отрезки, равные 3 и 4, а противолежащий этой стороне угол равен 120°. Найдите площадь треугольника. 11.29. Пусть CD-медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если AC-BC=2. 11.30. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D, причём BD-AD=4. Найдите расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD. 11.31. В четырёхугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP, PQ, а другая-сторон MN, MQ, PQ. Точки B и A лежат соответственно на сторонах MN и PQ, причём отрезок AB касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если NP=b и периметр четырёхугольника BAQM больше периметра четырёхугольника ABNP на величину 2p. 11.32. Около окружности радиуса R описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности и параллелограмма равна S. Найдите стороны параллелограмма. 11.33. В четырёхугольнике ABCD сторона AB равна стороне BC, диагональ AC равна стороне CD, а ∠ ACB=∠ ACD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACB и ACD, относятся как 3:4. Найдите отношение площадей этих треугольников. 11.34. Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB. 11.35. Радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен √3-1. Угол BAC равен 60°, а радиус окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC, равен √3 + 1. Найдите углы ABC и ACB данного треугольника. 11.36. В параллелограмме ABCD острый угол BAD равен α. Пусть O1, O2, O3, O4-центры окружностей, описанных соответственно около треугольников DAB, DAC, DBC, ABC. Найдите отношение площади четырёхугольника O1O2O3O4 к площади параллелограмма ABCD. 11.37. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана AD продолжена до пересечения с этой окружностью в точке E. Известно, что AB + AD=DE, ∠ BAD=60°, AE=6. Найдите площадь треугольника ABC. 11.38. В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен R и AB=2BC. 11.39. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр другой окружности, проходящей через вершины A, C и точку пересечения высот треугольника ABC. Найдите AC. 11.40. Под каким углом видна из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проекция на гипотенузу вписанной окружности? 11.1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 2, угол при вершине равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности.
online-tusa.com | SHOP