Поиск задач

Задачи на тему - Гармоническое колебательное движение и волны


12.1 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A=5 см, если за время t=1 мин совершается 150 колебаний и начальная фаза колебаний φ=π/4. Начертить график этого движения.

12.2 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A=0,1 м, периодом T=4 с и начальной фазой φ=0.

12.3 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A=50 мм, периодом T=4 с и начальной фазой φ=π/4. Найти смещение x колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и t=1,5 c. Начертить график этого движения.

12.4 Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой A=5 см и периодом Т=8 c, если начальная фаза φ колебаний равна: а) 0; б) π/2; в) π; г) 3π/2; д) 2π. Начертить график этого движения во всех случаях.

12.5 Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами A1=A2=5 см и одинаковыми периодами T1=T2=8 c, но имеющими разность фаз φ2 − φ1, равную: а) π/4; б) π/2; в) π; г) 2π.

12.6 Через какое время от начала движения точка, которая выполняет гармонические колебания, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний T=24 c, начальная фаза φ0=0.

12.7 Начальная фаза гармонического колебания φ=0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

12.8 Через какое время от начала колебания точка, которая выполняет колебательное движение по уравнению x=7sinπ/2t, проходит путь от положения равновесия до максимального смещения ?

12.9 Амплитуда гармонического колебания A=5 см, период T=4 c. Найти максимальную скорость vmax колеблющейся точки и ее максимальное ускорение amах.

12.10 Уравнение движения точки дано в виде x=2sin(π/2t + π/4). Найти период колебаний T, максимальную скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.

12.11 Уравнение движения точки дано в виде x=sinπ/6t. Найти моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость и максимальное ускорение.

12.12 Точка выполняет гармонические колебания. Период колебаний T=2 с, амплитуда A=50 Гц, начальная фаза φ=0. Найти скорость v в момент времени, когда смещение точки от состояния равновесия x=25 мм

12.13 Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки amax=49,3 см/с2, период колебаний T=2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x0=25 мм.

12.14 Начальная фаза гармонического колебания φ=0. При смещении точки от положения равновесия x1=2,4 см скорость точки v1=3 см/с, а при смещении x2=2,8 см ее скорость v2=2 см/с. Найти амплитуду A и период T этого колебания.

12.15 Уравнение колебания материальной точки массой m=16 г имеет вид x=0,1sin(π/8t + π/4) м. Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу Fmax.

12.16 Уравнение колебаний материальной точки массой m=10 г имеет вид x=5sin(π/5 t + π/4) см. Найти максимальную силу F max, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки.

12.17 Уравнение колебания материальной точки массой m=16 г имеет вид x=2sin(π/4t + π/4) см. Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) кинетической Wк, потенциальной Wп и полной W энергий точки.

12.18 Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов времени: a) t=T/12; б) t=T/8; в) t=T/6. Начальная фаза колебаний φ0=0.

12.19 Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) x=A/4; б) x=A/2; в) x=A, где A-амплитуда колебаний.

12.20 Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W=30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax=1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний T=2 с и начальная фаза φ=π/3.

12.21 Амплитуда гармоничных колебаний материальной точки A=2 см, полная энергия W=0,3 мкДж. При каком смещении x от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F=22,5 мкН ?

12.22 Шарик, подвешенный на нити, длиной ℓ=2 м, отклоняют на угол α=4° и наблюдают его колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики.

12.23 К пружине подвешен груз массой m=10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l=1,5 см, найти период T вертикальных колебаний груза.

12.24 К пружине подвесили груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза Wкmax=1 Дж. Амплитуда колебаний A=5 см. Найти жесткость k пружины.

12.25 Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению?

12.26 Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?

12.27 К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний T1=0,5 c. После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебании стал равным T2=0,6 c. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза?

12.28 К резиновому шнуру длиной ℓ=40 см и радиусом r=1 мм подвешена гиря массой m=0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины E=3 МН/м2, найти период T вертикальных колебаний гири. Указание. Учесть, что жесткость k резины связана с модулем Юнга E соотношением k=SE/ℓ, где S-площадь поперечного сечения резины, ℓ-ее длина.

12.29 Ареометр массой m=0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом T=3,4 c. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости ρ, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d=1 см.

12.30 Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных, колебаний с одинаковым периодом T=8 с и одинаковой амплитудой A=0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями φ2− φ1=π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

12.31 Найти амплитуду A и начальную фазу φ0 гармоничного колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, заданных уравнениями: x1=0,02sin(5πt + π/4)м и x2=0.03sin(5πt + π/4) м.

12.32 В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз φ2 − φ1 складываемых колебаний.

12.33 Найти амплитуду A и начальную фазу φ гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями x1=4sin(πt) см и x2=sin(πt + π/2) см. Написать уравнение результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.

12.34 На рис. 1 дан спектр результирующего колебания. Пользуясь данными этого рисунка, написать уравнения колебаний, из которых составлено результирующее колебание. Начертить график этих колебаний. Принять, что в момент t=0 разность фаз между ними φ2-φ1=0. Начертить график результирующего колебания.

12.35 Уравнения двух гармонических колебаний имеют вид x1=3sin(4πt) см и x2=6sin(10πt) см. Построить график этих колебаний. Сложив их графически, построить график результирующего колебания. Начертить его спектр

12.36 Уравнение колебаний имеет вид x=Asin(2πν1 · t), причем амплитуда A изменяется со временем по закону A=A0 · (1 + cos(2πν2 · t)). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и результирующего колебаний для A0=4 см, ν1=2 Гц, ν2=1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.

12.37 Написать уравнение результирующего колебания получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой ν1=ν2=5 Гц одинаковой начальной фазой φ1=φ2=π/3. Амплитуды колебаний равны A1=0,10 м и A2=0,05 м.

12.38 Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны A1=3 см и A2=4 см. Найти амплитуду A результирующего колебания, если колебания совершаются: а) в одном правлении; б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

12.39 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=2sin(ωt) м и y=2cos(ωt) м. Найти траекторию результирующего движения точки.

12.40 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебания x=cos(πt) и y=cos(π/2t). Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее с нанесением масштаба.

12.41 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=sin(πt) и y=2sin(πt + π/2). Найти траекторию результирующего движения точки.

12.42 Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях x=sin(πt) a y=4sin(πt + π). Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее с нанесением масштаба.

12.43 Период затухающих колебаний T=4 c; логарифмический декремент затухания N=1,6; начальная фаза φ=0. При t=T/4 смещение точки x=4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания. Построить его график в пределах двух периодов.

12.44 Построить график, затухающего колебания, данного уравнением x=5e-0,1t sin(π/4t) м

12.45 Уравнение затухающих колебаний дано в виде x=5e-0,25t · sin(π/2t) м. Найти скорость v колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, T, 2 T, 3 Т и 4 T

12.46 Логарифмический декремент затухания математического маятника N=0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника?

12.47 Найти логарифмический декремент затухания математического маятника, если за время t=1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в 2 раза. Длина маятника l=1 м.

12.48 Математический маятник длиной l=24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: а) N=0,01; б) N=1.

12.49 Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания N=0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

12.50 Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t=1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t=3 мин?

12.51 Математический маятник длиной ℓ=0,5 м, выведенный из положения равновесия, отклонился при первом колебании на x1=5 см, а при втором (в ту же сторону)-на x2=4 см. Найти время релаксации t, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз, где e-основание натуральных логарифмов.

12.52 К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на Δl=9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская, его заставляют совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания δ, чтобы: а) колебания прекратились через время t=10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1% от начальной); б) груз возвращается в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был равным Χ=6 ?

12.53 Тело массой m=10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой Amax=7 см, начальной фазой φ=0 и коэффициентом затухания δ=1,6 см-1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид x=5sin(10πt-3π/4) см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы.

12.54 Гиря массой m=0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания δ=0,75 см-1. Жесткость пружины k=0,5кН/м. Начертить зависимость амплитуды A вынужденных колебаний гирьки от частоты внешней периодической силы, если известно, что максимальное значение внешней силы F0=0,98 Н. Для построения графика найти значение A для частот: ω=0, ω=0,5, ω=0,75, ω=ω0, ω=1,5ω0 и ω=2ω0, где ω0-частота собственных колебаний подвешенной гири.

12.55 По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублении, находящихся на расстоянии l=30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на x0=2 см под действием груза массой m0=1 кг. С какой скоростью v катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски M=10 кг.

12.56 Найти длину волны λ колебания, период которого T=10-14 c. Скорость распространения колебаний c=3·108 м/c.

12.57 Звуковые колебания, имеющие частоту v=500 Гц и амплитуду A=0,25 мм. распространяются в воздухе. Длина волны λ=70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость Vmax частиц воздуха.

12.58 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x=10sin(π/2·t) см. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний c=300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l=600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t=4 с после начала колебаний.

12.59 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x=4sin(600πt) см. Найти смещение x от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l=75 см от источника колебаний, для момента времени t=0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний c=300 м/с.

12.60 Уравнение незатухающих колебаний имеет вид x=sin(2,5πt) см. Найти смещение x от положения равновесия, скорость v и ускорение a точки, находящейся на расстоянии l=20 м от источника колебаний, для момента времени t=1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний c=100 м/с.

12.61 Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, которые находятся от источника на расстояниях ℓ1=10 м и ℓ2=16 м. Период колебаний T=0,04 c, скорость распространения волн v=300 м/с.

12.62 Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии l=2 м друг от друга, если длина волны λ=1 м.

12.63 Найти смещение x от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии ℓ=λ/12, для момента времени t=T/6. Амплитуда колебаний A=0,05 м.

12.64 Смещение от положения равновесия точки, отстоящей источника колебании на расстоянии ℓ=4 см. в момент времени t=T/6 равно половине амплитуды. Найти длину λ бегущей волны.

12.65 Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если отражение происходит от: а) менее плотной среды; б) более плотной среды. Длина бегущей волны λ=12 см.

12.66 Найти длину волны λ колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны ℓ=15 см.