Поиск задач

Задачи на тему Компланарные векторы


Пример 1. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Какие из следующих трех векторов компланарны: а) AA1, CC1, BB1; б) AB, AD, AA1; в) B1B, AC, DD1; г) AD, CC1, A1B1?

Пример 2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К-середина ребра CC1. Разложите вектор: а) AK по векторам AB, AD, AA1; б) DA1 по векторам AB1, BC1 и CD1.

Задача 1. Отрезок EF соединяет середины ребер AC и BD тетраэдра ABCD. Докажите, что 2FE=BA + DC. Компланарны ли векторы FE, BA и DС?

Задача 2. Числа k и l не равны друг другу. Докажите, что если векторы a + kb и a + lb не коллинеарны, то: а) векторы a и b не коллинеарны; б) векторы а + k1b и a + l1b не коллинеарны при любых неравных числах k1 и l1.

Задача 3. На трех некомпланарных векторах p=AB, q=AD, r=AA1 построен параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Разложите по векторам p, q и r векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.

1. Даны параллелограммы ABCD и A1B1C1D1. Докажите, что векторы BB1 CC1 DD1 компланарны.

2. Точки A1, B1 и C1-середины сторон BC, AC и AB треугольника АВС, точка O-произвольная точка пространства. Докажите, что ОA1 + ОB1 + ОC1=OA + OB + OC.

3. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагонали грани DCC1D1 пересекаются в точке М. Разложите вектор AM по векторам AB, AD и AA1.