Поиск задач

Задачи на тему Операции над векторами


Пример 1. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что: а)AB + BD=AC + CD; б) AB + BC=DC + AD; в) DC + BD=AC + BA

Пример 2. Точка P-вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма всех векторов с началом в точке Р, образованных боковыми ребрами пирамиды, равна сумме всех векторов с началом в точке Р, образованных апофемами.

Пример 3. Диагонали куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются в точке О. Найдите число k такое, что: а) AB=k∙CD; б) AC1=k∙АО; в) OB1=k∙B1D.

Задача 1. Измерения прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 имеют длины: AD=8 см, AB=9 см и АA1=12 см. Найдите длины векторов: а) CC1, СВ, CD; б) DC1, DB, DB1.

Задача 2. Пусть ABCD-параллелограмм, а О-произвольная точка пространства. Докажите, что: а) OB-OA=OC-OD; б) OB-OC=DA.

Задача 3. Даны точки A, B, С и D. Представьте вектор AB в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) AB, DC, BD; б) DA, DC, CB; в) DA, CD, BC.

Задача 4. Упростите: а) 2(m + n)-3(4m-n) + m; б) m-3(n-2m + p) + 5(p-4m).

1. В тетраэдре ABCD точки M, N и K-середины ребер AC, BC и СD-соответственно, AB=3 см, BC=4 см, BD=5 см. Найдите длины векторов: а) AB, BC, BD, NM, BN, NK; б) CB, BA, DB, NC, NK.

2. Дан прямоугольный параллелепипед KLMNK1L1M1N1. Докажите, что: а) |MK + MM1|=|MK-MM1| ; б) |K1L1-NL1|=|ML + MM1|; в) |NL-M1L|=|K1N-LN|.

3. Упростите выражение: а) OP-EP + KD-KA; б) AD + MP + EK-EP-MD; в) AC-BC-PM-AP + BM.

4. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AC1 + B1D=2BC.