Поиск задач

Задачи на тему Строение атома


47-пример 1. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность W пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом r=0,1 a (где a-радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.

47-пример 2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3p-состоянии. Определить изменение магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций: ψ(r, v, ψ)=R(r)Y(v, φ)

47.2. Уравнение для радиальной R(r) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид где α, β и l-некоторые параметры. Используя подстановку χ(r)=rR(r), преобразовать его к виду

47.3. Уравнение для радиальной функции χ(r) может быть преобразовано к виду , где α=2mE/h2; β=Ze2m/(4πε0h)2; l-целое число. Найти асимптотические решения уравнения при больших числах r. Указать, какие решения с Е>0 или с E<0 приводят к связанным состояниям.

47.4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение уравнения при малых r.

47.5. Найти решение уравнения для радиальной функции R(r), описывающей основное состояние (l=0), и определить энергию электрона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функции может быть записано в виде где α=2mЕ/h2; β=Ze2m/(4пe0h2); l-орбитальное квантовое число

47.6 Атом водорода находится в основном состоянии. Собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид ψ(r)=Ce-r/a, где C-некоторая постоянная. Найти из условия нормировки постоянную C.

47.7. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ(r)=Се-r/a, где a=4πe0h2/(e2m) (боровскнй радиус). Определить расстояние r, на котором вероятность нахождения электрона максимальна.

47.8. Электрон в атоме водорода описывается в основном состоянии волновой функцией ψ(r)-Се-r/a. Определить отношение вероятностей ω1/ω2 пребывания электрона в сферических слоях толщиной Δr=0.01a и радиусами r1=0,5a и r2=1,5a.

47.9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычислить: 1) вероятность ω1 того, что электрон находится внутри области, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу a. 2) вероятность ω2 того, что электрон находится вне этой области; 3) отношение вероятностей ω2/ω1. Волновую функцию считать известной:

47.10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид найти среднее расстояние r электрона от ядра.

47.11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изображать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных единицах радиус орбитали для 1s-состояния электрона в атоме водорода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию. где ρ-расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицаx. Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графически.

47.12. Волновая функция, описывающая 2s-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где ρ-расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Определить: 1) расстояние р, от ядра, на которых вероятность обнаружить электрон имеет максимум; 2) расстояния р4 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) построить графики зависимости |ψ200(ρ)|2 от ρ и ρ2|ψ200(ρ)| от ρ

47.13. Уравнение для угловой функции Y (v, φ) в сферической системе координат может быть записано в виде где λ-некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произведения двух функций: Y(v, φ)=Θ(v)Φ(φ) где Θ(v)-функция, зависящая только от угла v; Ф(φ)-то же, только от угла φ.

47.14. Угловая функция Ф(φ) удовлетворяет уравнению d2Ф/dφ2 + mФ=0. Решить уравнение и указать значения параметра m, при которых уравнение имеет решение.

47.15. Зависящая от угла φ угловая функция имеет вид Ф(φ)=Сеimφ. Используя условие нормировки, определить постоянную C.

47.16. Изобразить графически угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая функция Y имеет вид: Для построении воспользоваться полярной системой координат.

47.17. Угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода определяется видом угловой функции Y. Показать, что p-подоболочка имеет сферически симметричное распределение плотности вероятности. Воспользоваться данными предыдущей задачи.

47.18. Вычислить момент импульса L орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) в p-состоянии.

47.19. Определить возможные значения проекции момента импульса L орбитального движения электрона в атоме на направление внешнего магнитного поля. Электрон находится в d-состоянии.

47.20. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией E=10,2 эВ.Определить изменение момента импульса орбитального движения электрона. В возбужденном атоме электрон находится в p-состоянии.

47.21. Используя векторную модель атома, определить наименьший угол α, который может образовать вектор момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии.

47.22. Электрон в атоме находится в f-состоянии. Найти орбитальный момент импульса электрона и максимальное значение проекции момента импульса направление внешнего магнитного поля.

47.23. Момент импульса орбитального движения электрона в атоме водорода равен 1,83*10-34 Дж*с. Определить магнитный момент μℓ обусловленный орбитальным движением электрона.

47.24. Вычислить полную энергию E, орбитальный момент импульса и магнитный момент μ электрона, находящегося в 2p-состоянии в атоме водорода.

47.25. Может ли вектор магнитного момента μ орбитального движения электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции?

47.26. Определить возможные значения магнитного момента μ, обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия E возбуждения равна 12,09 эВ.

47.27. Вычислить спиновый момент импульса электрона и проекцию этого момента на направление внешнего магнитного поля.

47.28. Вычислить спиновый магнитный момент μ электрона и проекцию магнитного момента на направление внешнего поля.

47.29. Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первой группе периодической системы, причем в основном состоянии?

47.30. Атомы серебра, обладающие скоростью 0,6 км/с, пропускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью l=6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности магнитного поля, при которой расстояние b между компонентами расщепленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии.

47.31. Узкий пучок атомарного водорода пропускается в опыте Штерна и Герлаха через поперечное неоднородное магнитное поле протяженностью 8 см. Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Определить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии.

47.32. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 47.1). Какова должна быть степень неоднородности ∂B/∂z магнитного поля, чтобы расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране было равно 6 мм? Принять l1=l2=10 см. Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с.

47.33. Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) пропускается через поперечное неоднородное магнитное поле протяженностью 10 см (рис. 47.1). На экране Э, отстоящем на расстоянии 20 см от магнита, наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fz, действующую на атомы рубидия, если расстояние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с.

47.34. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неоднородного магнитного поля протяженностью 4 см расщепился на два пучка. Экран для наблюдения удален от границы магнитного поля на расстояние 10 см (рис. 47.1). Определить (в магнетонах Бора) проекции магнитного момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстояние b между компонентами расщепленного пучка на экране равно 2 мм и атомы серебра обладают скоростью 0,5 км/с.

47.35. Какое максимальное число s-p-d-электронов может находиться в электронных К-, L-и M-слоях атома?

47.36. Используя принцип Паули, указать, какое максимальное число электронов в атоме могут иметь одинаковыми следующие квантовые числа: 1) n l m ms 2) n l m 3) n l 4) n

47.37. Заполненный электронный слой характеризуется квантовым числом n=3. Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) ms=+1/2 2) m=-2 3) ms=-1/2 m=0 4) ms=+1/2 l=2

47.38. Найти число электронов в атомах, у которых в основном состоянии заполнены: 1) К-и L-слои, 3s-оболочка и наполовину 3p-оболочка; 2) К-, L-и M-слои и 4s-, 4р-и 4d-оболочки. Что это за атомы?

47.39. Написать формулы электронного строения атомов: 1) бора; 2) углерода; 3) натрия.

47.40. Как можно согласовать использование векторной модели атома с соотношением неопределенностей для проекций момента импульса?

47.41. Электрон в атоме водорода находится в p-состоянии. Определить возможные значения квантового числа и возможные значения полного момента импульса электрона. Построить соответствующие векторные диаграммы.

47.42. В возбужденном атоме гелия один из электронов находится в р-состоянии, другой в d-состоянии. Найти возможные значения полного орбитального квантового числа L и соответствующего ему момента импульса (в единицах h). Построить соответствующие векторные диаграммы.

47.43. Определить угол φ между орбитальными моментами импульсов двух электронов, один из которых находится в d-состоянии, другой-в f-состоянии, при следующих условиях: 1) полное орбитальное квантовое число L=3; 2) искомый угол-максимальный; 3) искомый угол-минимальный.

47.44. Система из трех электронов, орбитальные квантовые числа которых соответственно равны 1,2,3, находятся в S-состоянии. Найти угол между орбитальными моментами импульса первых двух электронов.

47.45. Каковы возможные значения полного момента импульса электрона, находящегося в d-состоянии? Чему равны при этом углы между спиновым моментом импульса и орбитальным?

47.46. Спиновый момент импульса двухэлектронной системы определяется квантовым числом 1. Найти угол между спиновыми моментами импульса обоих электронов.

47.47. Система, состоящая из двух электронов, находится в состоянии с L=2. Определить возможные значения угла между орбитальным моментом импульса электрона и полным орбитальным моментом импульса системы.

47.48. Найти возможные значения угла между спиновым моментом импульса и полным моментом: 1) одноэлектронной системы, состоящей из d-электрона; 2) двухэлектронной системы с J=2.

47.49. Определить возможные значения (в единицах h) проекции спинового момента импульса электронной системы, находящейся в состоянии 3D3, на направление полного момента.

47.50. Определить возможные значения квантового числа электронной системы, для которой: 1) S=2 и L=1; 2) S=1 и L=3. Найти (в единицах h) возможные значения полного момента импульса системы и построить соответствующие векторные диаграммы.

47.51. Определить возможные значения квантового числа, соответствующего полному моменту импульса электронной системы, у которой L=3, a S принимает следующие значения: 1) 3/2; 2) 2; 3) 5/2; 4) 4. Построить соответствующие векторные диаграммы.

47.52. Записать основные термы для следующих атомов: 1) H; 2) Не; 3) Be; 4) Li; 5) B.

47.53. Перечислить возможные термы для следующих состояний атомов: 1) 2S ; 2) 2P; 3) 4P; 4) 5D;

47.54. Определить кратности вырождения следующих термов: 1) 2D3/2 2) 3F2 3) 1F

47.55. Объяснить на основе векторной модели атома наличие двух систем термов (синглетных и триплетных) в атомах с двумя валентными электронами.

47.56. Определить возможные мультиплетности (2S + 1) термов следующих атомов: 1) Li; 2) Be; 3) В; 4) С; 5) N.

47.57. Выписать все возможные термы для комбинации р-и d-электронов по типу связи Рассель-Саундерса. Дать их спектральные обозначения.

47.58. Вычислить множитель Ланде g для атомов с одним валентным электроном в состояниях S и P.

47.59. Вычислить множитель Ланде g для атомов, находящихся в синглетных состояниях.

47.60. Определить магнитный момент атома в состоянии 1D. Ответ выразить в магнетонах Бора

47.61. Вычислить магнитный момент атома в состоянии 3Р2. Ответ выразить в магнетонах Бора.

47.62. Атом находится в состоянии 2D3/2. Найти число возможных проекций магнитного момента на направление внешнего поля и вычислить (в магнетонах Бора) максимальную проекцию (μJz)max

47.63. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент атома водорода в основном состоянии.

47.64. Атом находится в состоянии 1F. Найти соответствующий магнитный момент и возможные значения его проекции на направление внешнего магнитного поля.

47.65. Максимальная проекция магнитного момента атома, находящегося в состоянии 2D, составляет четыре магнетона Бора. Определить мультиплетность (2S+ 1) соответствующего терма.

47.66. На сколько составляющих расщепляется в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состояниях: 1) 2P3/2; 2) 1D 3) 5F1.

47.67. Определить максимальные проекции магнитных моментов атомов ванадия, марганца и железа, если известно, что пучки этих атомов при прохождении через сильно неоднородное магнитное поле по методу Штерна и Герлаха расщепляются соответственно на 4, 6 и 9 составляющих. (В скобках указаны состояния, в которых находятся атомы.)

47.68. Вычислить частоты ларморовой прецессии электронных оболочек атомов: 1) в магнитном поле Земли; 2) в поле, магнитная индукция B которого равна 50 Тл.

47.69. Найти угловую скорость прецессии магнитных моментов атомов, помещенных в магнитном поле в случае, когда атомы находятся в состояниях: 1) 1P; 2) 2P3/2

47.70. Определить максимальную энергию магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого: 1) B=1 Тл; 2) В=50 Тл. Ответ выразить в электрон-вольтах.

47.71. Какое магнитное поле в случае эффекта Зеемана следует считать: 1) слабым; 2) сильным ?

47.72. Состояния атома характеризуются двумя спектральными термами. Указать квантовые числа S, L и возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 1S и 1P; 2) 1D и 1F. Изобразить для этих состояний схему энергетических уровней при отсутствии магнитного поля.

47.73. Состояние атома характеризуется двумя спектральными термами. Указать возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 2S и 2Р; 2) 3P и 2D; 3) 3S и 3D. Изобразить для этих состояний схему энергетических уровней с учетом спин-орбитального взаимодействия (естественного мультиплетного расщепления) при отсутствии магнитного поля.

47.74. Определить возможные значения квантового числа и изобразить на схеме расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле для состояний, определяемых спектральными термами: 1) 2S; 2) 2P3/2; 3) 2D5/2 4)1F.

47.75. Построить схему возможных энергетических переходов в слабом магнитном поле между состояниями атома, определяемыми следующими термами: 1) 2P1/2-2S; 2) 2P3/2-2S; 3) 2D3/2-2P3/2.

47.76. Вычислить смещение спектральных линий при сложном (аномальном) эффекте Зеемана в случае перехода атома из состояния, определяемого термом в состояние-2S1/2. В качестве единицы смещения принять нормальное (лоренцово) смещение