Поиск задач

Задачи на тему Простейшие случаи движения микрочастиц


46 Пример №1. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика.

46 пример 2. Моноэнергетический поток электронов (E=100 эВ) падает на низкий * прямоугольный потенциальный барьер бесконечной ширины (рис. 46.1). Определить высоту потенциального барьера U, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отражается. * Прямоугольный потенциальный барьер называется низким, если энергия E частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким.

46 пример 3. Электрон с энергией E=4,9 эВ движется в положительном направлении оси x (рис. 46.3). Высота U потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине d барьера вероятность W прохождения электрона через него будет равна 0,2?

46.1 Написать уравнение Шредингера для электрона, находящегося в водородоподобном атоме.

46.2 Написать уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия, f=-βk (где β-коэффициент пропорциональности, x-смещение).

46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид ihdψ/dt=Eψ. Найти решение уравнения.

46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении оси x со скоростью v. Найти решение этого уравнения.

46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой ψ-функции, а о квадрате ее модуля ψ2?

46.6. Чем обусловлено требование конечности ψ-функции?

46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,-ее непрерывность и непрерывность первой производной от волновой функции.

46.8. Может ли |ψ(x)|2 (квадрат модуля волновой функции) быть больше единицы?

46.9. Показать, что для волновой ψ-функции выполняется равенство |ψ(x)|2=ψ(x)ψ*(x), где ψ*(x) означает функцию, комплексно сопряженную ψ(х).

46.10. Доказать, что если ψ-функция циклически зависит от времени , то плотность вероятности есть функция только координаты.

46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоугольном одномерном потенциальном ящике шириной l (рис. 46.4). Написать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II((0<х<l).

46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной l: ψ(x)=С1 sin kx +С2 cos kx. Используя граничные условия ψ(0)=0 и ψ(l)=0, определить коэффициент C2, и возможные значения волнового вектора k, при котором существуют нетривиальные решения.

46.13. Электрону в потенциальном ящике шириной l отвечает волновое число k==пn/l (n=1, 2, 3,...). Используя связь энергии E электрона с волновым числом k, получить выражение для собственных значений энергии Еn.

46.14 Частица находится в потенциальном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней ΔEn+1, n к энергии En частицы в трех случаях: 1) n=3; 2) n=10; 3) n → ∞. Пояснить полученные результаты.

46.15 Электрон находится в потенциальном ящике шириной l=0,5 нм. Определить наименьшую разность ΔE энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

46.16 Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид ψn(x)=C sin(πnx/l). Используя условия нормировки, определить постоянную C.

46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде ψ(х)=C1eikx+С2e-ikx, где k=√2mE/h. Используя граничные условия и нормировку ψ-функции, определить: 1) коэффициенты C1 и С2; 2) собственные значения энергии En. Найти выражение для собственной нормированной ψ-функции.

46.18 Изобразить на графике вид первых трех собственных функций ψn(x), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной l, а также вид |ψn(x)|2. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<x<l) и квантовым числом n. Функцию считать нормированной на единицу.

46.19. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<х<l) плотность вероятности |ψ2(х)|2 нахождения частицы максимальна и минимальна.

46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной l. В каких точках в интервале (0<x<l) плотность вероятности нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графически.

46.21 Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в средней трети ящика; 2) в крайней трети ящика?

46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной l находится электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.

46.23. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика.

46.24. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной l.

46.25 Показать что собственные функции , описывающие состояние частицы в потенциальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е.

46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной l. Определить среднее значение координаты x электрона (0<х<l).

46.27. Используя выражение энергии En=π2h2n2/(2ml2) частицы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородоподобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий.

46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами l=10 фм, оценить низший энергетический уровень нуклонов в ядре.

46.29. Определить из условия нормировки коэффициент C собственной ψ-функции, описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторонами l2, l2

46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со стороной l. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет 1/4 площади ящика.

46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собственной ψ-функции описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бесконечно глубоком ящике со сторонами l1 l2 l3.

46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энергией E движущегося в положительном направлении оси X для областей I и II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U.

46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I и II. Какой смысл имеют коэффициенты А1 и В1 для ψI(x) и А2 и В2 для ψII(x)? Чему равен коэффициент B2?

46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I и II потенциального барьера ψ1(х)=A1eikx + B1e-ikx, ψII(х)=A2eikx, определить из условий непрерывности ψ-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности B1/A1, A2/A1

46.35. Зная отношение амплитуд вероятности B1/A1=(k1-k2)/(k1+k2) для волны, отраженной от барьера, и A2/A1=2k/(k1+k2) для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения т.

46.36 Считая выражение для коэффициента отражения ρ от потенциального барьера и коэффициента прохождения τ известными, показать, что ρ+τ=1.

46.37. Электрон с энергией Е=25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U=9 эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления n волн де Бройля на границе барьера.

46.38. Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (рис. 46.5). Кинетическая энергия протонов равна 16 эВ. а высота U потенциальной ступени равна 9 эВ.

46.39. Электрон обладает энергией E=10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость v, длина волны де Бройля λ и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой U=6 эВ.

46.40 Протон с энергией E=1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1%. Определить высоту U потенциального барьера.

46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны λ1=0,1 нм находится потенциальный барьер высотой U=20 эВ. Определить длину волны де Бройля λ2 после прохождения барьера.

46.42 Электрон с энергией E=100 эВ попадает на потенциальный барьер высотой U=64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера.

46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отражения ρ от очень низкого потенциального барьера (U<E).

46.44. Коэффициент отражения ρ протона от потенциального барьера равен 2,5*10-5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии T падающих на барьер протонов.

46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломления n волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения ρ от него.

46.46. Определить показатель преломления n волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициентом отражения ρ=0,5.

46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии E электрона, падающего на барьер, коэффициент отражения ρ=0,5?

46.48. Электрон с энергией Е=10 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель преломления n волн де Бройля и коэффициент отражения ρ численно совпадают.

46.49. Кинетическая энергия T электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения ρ и коэффициент прохождения τ электронов на границе барьера.

46.50. Коэффициент прохождения τ электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения ρ. Определить, во сколько раз кинетическая энергия T электронов больше высоты U потенциального барьера.

46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохождения τ электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления n волн де Бройля.

46.52. Коэффициент прохождения т протонов через потенциальный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления n волн де Бройля на границе барьера.

46.53. Электрон с кинетической энергией T движется в положительном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения ρ и коэффициента прохождения τ на границе потенциальной ступени высотой U (рис. 46.5).

46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента прохождения τ через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия T частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера.

46.55. Вычислить коэффициент прохождения т электрона с энергией E=100 эВ через потенциальный барьер высотой U=99, 75 эВ.

46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность потока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Np электронов, отраженных от барьера, и плотности потока электронов, прошедших через барьер.

46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии J1=10 Вт/м2. Определить плотность потока энергии J2 электронов, прошедших барьер, если высота его U=0,91 эВ и энергия E электронов в падающем потоке равна 1 эВ.

46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения τ=0.9. Определить отношение J2/J1, плотности потока энергии волны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падающей на барьер.

46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация n0 электронов в падающем потоке равна 109 мм-3, а их энергия E=100 эВ. Определить давление, которое испытывает барьер, если его высота U=9,7 эВ.

46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси x для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеется потенциальный барьер высотой U.

46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) ψ-функции имеют вид... Используя непрерывность ψ-функций и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2/A1.

46.62. Написать выражение для ψ(x) в области II (рис. 46.6) высокого потенциального барьера, если ψ-функция нормирована так, что А1=1.

46.63. Амплитуда А2 волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна Установить выражение для плотности вероятности нахождения частицы в области II (x>0), если энергия частицы равна E, а высота потенциального барьера равна U.

46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от низкой ступени ρ , где k1 и k2-волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (T<U).

46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде

46.66. Определить плотность вероятности |ψ(0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке x=0, если энергия электрона равна E, высота потенциального барьера равна U и ψ-функция нормирована так, что А1=1.

46.67 Написать уравнения Шредингера для частицы с энергией E, движущейся в положительном направлении оси X для областей I, II и III (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шириной d.

46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыдущую задачу) для областей I, II и III, пренебрегая волнами, отраженными от границ I-II и II-III, и найти коэффициент прозрачности D барьера.

46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий U-E=1 эВ, если ширина барьера: 1) d=0,1 им; 2) d-=0.5 нм.

46.70 Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d=0,5 нм. Высота U барьера больше энергии E электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D, если энергия электрона: 1) E=10 эВ; 2) E=100 эВ.

46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U-E=1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в n=10 раз?

46.72. Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности D=0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (ее действительную часть) в пределах каждой из областей I, II, III (см. рис. 46.3).

46.73 При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U-E=10 эВ.

46.74 Электрон с энергией E движется в положительном направлении оси X. При каком значении U-E, выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности D=10-3, если ширина d барьера равна 0,1 нм?

46.75. Электрон с энергией E=9 эВ движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон пройдет через потенциальный барьер, если его высота U=10 эВ и ширина d=0,1 нм.

46.76 Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d=0,1 нм. При какой разности энергий U-E вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?

46.77. Ядро испускает α-частицы с энергией Е=5МэВ. В грубом приближении можно считать, что α-частицы проходят через прямоугольный потенциальный барьер высотой U=10 МэВ и шириной d=5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для α-частиц.

46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Δφ=10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффициенты прозрачности Dc для электрона и Dp для протона, если высота U барьера равна 20 кэВ и ширина d=0,1 пм?