Поиск задач

Задачи на тему Ускорение точки


12.1 Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получает замедление, равное 0,4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение.

12.2 Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным.

12.3 Водяные капли вытекают из отверстия вертикальной трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением 9,81 м/с2. Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 с после момента истечения первой капли.

12.4 Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути l=1200 м, считая, что замедление постоянно.

12.5 Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с2?

12.6 Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением wx=-π2 sin π/2 t м/с2. Найти уравнение движения ползуна, если его начальная скорость v0x=2π м/с, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений.

12.7 Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 c. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса R=1 км.

12.8 При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после отхода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мин после момента отхода от станции.

12.9 Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса R=800 м и проходит путь s=800 м, имея начальную скорость v0=54 км/ч и конечную v=18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге.

12.10 Закругление трамвайного пути состоит из двух дуг радиусом ρ1=300 м и ρ2=400 м. Центральные углы α1=α2=60°. Построить график нормального ускорения вагона, идущего по закруглению со скоростью v=36 км/ч.

12.11 Точка движется по дуге окружности радиуса R=20 см. Закон ее движения по траектории: s=20 sin πt (t-в секундах, s-в сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент t=5 c. Построить также графики скорости, касательного и нормального ускорений.

12.12 Прямолинейное движение точки происходит по закону s=g(at+e-at)/a2, где a и g-постоянные величины. Найти начальную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости.

12.13 Движение точки задано уравнениями x=10 cos (2πt/5), y=10 sin (2πt/5) (x, y-в сантиметрах, t-в секундах). Найти траекторию точки, величину и направление скорости, а также величину и направление ускорения.

12.14 Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид x=75 cos 4t2, y=75 sin 4t2 (x, y-в сантиметрах, t-в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.

12.15 Движение точки задано уравнениями x=a(ekt + e-kt), y=a(ekt-e-kt), где a и k-заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки как функции радиус-вектора r=√x2+y2.

12.16 Найти радиус кривизны при x=y=0 траектории точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям x=-a sin 2ωt, y=-a sin ωt.

12.17 Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольжения по горизонтальной оси Ox, если точка описывает циклоиду согласно уравнениям x=20t-sin 20t, y=1-cos 20t (t-в секундах, x, y-в метрах). Определить также значение радиуса кривизны ρ при t=0.

12.18 Найти траекторию точки M шатуна кривошипно-ползунного механизма, если r=l=60 см, MB=l/3, φ=4πt (t-в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда φ=0.

12.19 На проволочной окружности радиуса 10 см надето колечко M; через него проходит стержень OA, который равномерно вращается вокруг точки O, лежащей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на прямой угол за 5 c. Определить скорость v и ускорение w колечка.

12.20 В условиях предыдущей задачи определить скорость и ускорение колечка M как функцию угла φ, если угловое ускорение стержня OM равно k cos φ (k=const). В начальный момент при t=0 угол φ и его скорость равнялись нулю, радиус окружности r, 0 ≤ φ ≤ π.

12.21 Движение снаряда задано уравнениями x=v0t cos α0, y=v0t sin α0-gt2/2, где v0 и α0-постоянные величины. Найти радиус кривизны траектории при t=0 и в момент падения на землю.

12.22 Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям x=300t, y=400t-5t2 (t-в секундах, x, y-в метрах). Найти: 1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту и дальность обстрела, 3) радиус кривизны траектории в начальной и в наивысшей точках.

12.23 Из орудия береговой артиллерии с высоты h=30 м над уровнем моря произведен выстрел под углом α0=45° к горизонту с начальной скоростью снаряда v0=1000 м/с. Определить, на каком расстоянии от орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Сопротивлением воздуха пренебречь.

12.24 Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями x=αt, y=βt-gt2/2.

12.25 Точка движется по винтовой линии согласно уравнениям x=2 cos 4t, y=2 sin 4t, z=2t, причем за единицу длины взят метр. Определить радиус кривизны ρ траектории.

12.26 Движение точки задано в полярных координатах уравнениями r=aekt и φ=kt, где a и k-заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора r.

12.27 Движение точки задано уравнениями x=2t, y=t2 (t-в секундах, x и y-в сантиметрах). Определить величины и направления скорости и ускорения точки в момент времени t=1 c.

12.28 Построить траекторию движения точки, годограф скорости и определить радиус кривизны траектории в начальный момент, если точка движется согласно уравнениям x=4t, y=t3 (t-в секундах, x и y-в сантиметрах).

12.29 Кривошип O1C длиной a/2 вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси O1. В точке С с кривошипом шарнирно связана линейка AB, проходящая все время через качающуюся муфту O, находящуюся на расстоянии a/2 от оси вращения O1. Приняв точку O за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки M линейки, отстоящей от шарнира C на расстоянии a, ее траекторию, скорость и ускорение (в начальный момент угол φ=∠COO1=0).

12.30 В условиях задачи 12.29 определить радиус кривизны кардиоиды при r=2a, φ=0.

12.31 Конец A стержня AB перемещается по прямолинейной направляющей CD с постоянной скоростью vA. Стержень AB все время проходит через качающуюся муфту O, отстоящую от направляющей CD на расстоянии a. Приняв точку O за полюс, найти в полярных координатах r, φ скорость и ускорение точки M, находящейся на линейке на расстоянии b от ползуна A.

12.32 Точка M движется по винтовой линии. Уравнения движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид r=a, φ=kt, z=νt. Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической системы координат, касательную и нормальную составляющие ускорения и радиус кривизны винтовой линии.

12.33 Точка M движется по линии пересечения сферы x2+y2+z2=R2 и цилиндра (x-R/2)2+y2=R2/4. Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид (см. задачу 10.21) r=R, φ=kt/2, θ=kt/2. Найти проекции и модуль ускорения точки в сферических координатах.

12.34 Корабль движется под постоянным курсовым углом α к географическому меридиану, описывая при этом локсодромию (см. задачу 11.13). Считая, что модуль скорости v корабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на оси сферических координат r, λ и φ (λ-долгота, φ-широта места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсодромии.

12.35 Выразить декартовы координаты точки через тороидальные координаты r=CM, ψ и φ и определить коэффициенты Ляме (Ламе).

12.36 Движение точки задано в тороидальной системе координат r, ψ и φ. Найти проекции скорости и ускорения точки на оси этой системы отсчета.

12.37 Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор, по закону r=R=const, ψ=ωt, φ=kt. Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидальной системе координат (ω=const, k=const).

12.38 Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного устройства 1, колонны для вертикального перемещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Найти скорость и ускорение центра схвата при заданных φ(t), z(t), r(t).

12.39 Вертикальная колонна, несущая руку робота-манипулятора, может поворачиваться на угол φ. Рука со схватом поворачивается на угол ϑ и выдвигается на расстояние r. Найти скорость и ускорение центра схвата.

12.40 Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного устройства с вертикальной осью (угол поворота-φ) и двух звеньев, расположенных в вертикальной плоскости (углы поворота звеньев-ϑ1 и ϑ2). Найти скорость центра схвата при переносе груза.