Поиск задач

Задачи на тему Траектория и уравнения движения точки


10.1 По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь σ за указанный промежуток времени (s и σ-в сантиметрах, t-в секундах). 1) s=5-4t + t2, 0 ≤ t ≤ 5. 2) s=1 + 2t-t2, 0 ≤ t ≤ 2,5. 3) s=4 sin 10t, π/20 ≤ t ≤ Зπ/10.

10.2 По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x=3t-5, y=4-2t. 2) x=2t, y=8t2. 3) x=5 sin 10t, y=3 cos 10t. 4) x=2-3 cos 5t, y=4 sin 5t-1. 5) x=ch t=1/2 (et + e-t), y=sh t=1/2 (et-e-t).

10.3 Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (r0 и e-постоянные заданные векторы, i и j-координатные орты). 1) r=r0 + t*e. 2) r=r0 + cos t*e. 3) r=ai cos(π/(1+t2)) + bj sin (π/(1+t2)).

10.4 По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) x=3t2, y=4t2. 2) x=3 sin t, y=3 cos t. 3) x=a cos2 t, y=a sin2 t. 4) x=5 cos 5t2, y=5 sin 5t2.

10.5 Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению x=t; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению y=1,5t (x и y-в метрах, t-в секундах). Цепь укорачивается со скоростью v=0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Oxy; ось Oz направлена вертикально вверх.

10.6 Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями x=3 sin t, y=2 cos 2t (t-в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t1, когда траектория пересечет ось Ox.

10.7 При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами x=a sin kt, y=a cos kt, z=vt, где a, k и v-некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории.

10.8 Гармонические колебания точки определяются законом x=a sin(kt+ε), где a > 0-амплитуда колебаний, k > 0-круговая частота колебаний и ε (-π ≤ ε ≤ π)-начальная фаза. Определить центр колебаний a0, амплитуду, круговую частоту, период T, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (x-в сантиметрах, f-в секундах): 1) x=-7 cos 12t. 2) x=4 sin (πt/20)-3 cos (πt/20). 3) x=2-4 sin 140t. 4) x=6 sin2 18t. 5) x=1-4 cos2 (πt/60).

10.9 Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению x=a sin(kt+Зπ/2), где a-в сантиметрах, k-в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент x0=-4 см. Построить также кривую расстояний.

10.10 Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: x=a sin(kt+α), y=b sin(kt+β).

10.11 Найти уравнение траектории движения точки, получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) x=a sin 2ωt, y=a sin ωt; 2) x=a cos 2ωt, y=a cos ωt.

10.12 Кривошип OA вращается с постоянной угловой скоростью ω=10 рад/с. Длина OA=AB=80 см. Найти уравнения движения и траекторию средней точки M шатуна, а также уравнение движения ползуна B, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом положении; оси координат указаны на рисунке.

10.13 Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса R=1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ox.

10.14 Даны уравнения движения снаряда x=v0 cos α t, y=v0 sin α t-gt2/2, где v0-начальная скорость снаряда, α-угол между v0 и горизонтальной осью x, g-ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту H, дальность L и время T полета снаряда.

10.15 В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания α дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета.

10.16 В условиях задачи 10.14 определить угол бросания α, при котором снаряд попадает в точку A с координатами x и y.

10.17 Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости v0 и любом угле бросания α).

10.18 Точка движется по винтовой линии x=a cos kt, y=a sin kt, z=vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

10.19 Даны уравнения движения точки: x=2a cos2(kt/2), y=a sin kt, где a и k-положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки.

10.20 В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах.

10.21 По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах x=R cos2 (kt/2), y=(R/2) sin (kt), z=R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах.

10.22 Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид x=Ae-ht cos(kt + ε), y=Ae-ht sin(kt + ε), где A > 0, h > 0, k > 0 и ε-некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию точки.

10.23 Плоский механизм манипулятора переносит груз из одного положения в другое по траектории, определяемой полярными координатами центра схвата rC=rC(t), φC=φC(t). Найти: 1) законы изменения углов ψ1 и ψ2, отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси y, отстоящей от нее на расстоянии a по закону y=s(t), где s-заданная функция времени t.